插齿切削层的研究
摘要：提出了一种插齿切削层的计算方法，基于分析单齿在切入过程中的负荷，用叠加法求出整个插齿刀的切削负荷，这有助于深入了解插齿刀的工作状况。
插齿是齿轮加工主要方法之一，对于双联齿及内齿轮等特殊零件，插齿至今还不能被其它加工方法所代替。插齿切削层主要是研究插齿刀工作时每齿及整个刀具的切削负荷及其波动情况，这对于了解插齿刀的工作状态、插齿切削力、切削热和刀具磨损都有很大意义，另外对选择切削用量，合理使用刀具，还提供了可靠的依据。由于插齿过程的复杂性，现有文献对其切削层的研究报道很少。本文介绍一个简化的插齿切削层的数学模型，从工程的观点看，可满足实际使用精度。
图1 插齿切削层的形成过程
插齿刀及齿轮参数表 模数m
（mm） 齿数
z 压力角a
（°） 分圆半径r
（mm） 顶圆半径re
（mm） 根圆半径ri
（mm）
齿轮 5 40 20 100 105 93.75
插齿刀 5 20 20 50 56.25 43.75
1 插齿切削层的分析计算方法插齿刀切削齿轮时，类似于一对齿轮啮合传动的过程。如图1所示，与齿轮1相固结的动坐标系为（o1-x1，y1），与插齿刀相固结的动坐标系为（o2-x2，y2），它们的旋转方向如图中箭头所示。插齿刀从切入到切出转过的角度为∠k1o2k2，其中∠k1o2o1为切入过程，∠o1o2k2为切出过程。在切入过程中，插齿刀切出齿轮齿槽及展成出左侧齿形。在切出过程中，展成出齿轮右侧齿形。为简化计算，现在作出两点假设：（1）插齿刀切出过程的切削层忽略不计，因为这部分小于整个齿槽面积的2%：（2）对于插齿刀的刀齿，看成齿条的齿形，这样在极限的情况下（齿数为20），误差也小于4%。上述两项互相抵消后，误差不会大于2%。 设插齿刀及齿轮的参数如右表。 在起始位置，插齿刀两侧刃齿根齿顶四点坐标为 a点：x21 =（pm/4-1.25mtga），y21=ri2 b点：x22 =（pm/4+1.25mtga），y22=re2 c点：x23 =-x22，y23 = y22d点：x24 =-x21，y24 = y21 插齿刀的齿形转到齿轮坐标系上，以上四点坐标 可按下式计算 [ x1 ] = [ cos（f1+f2） sin（f1+f2） asinf1 ][ x2 ]
y1 -sin（f1+f2） cos（f1+f2） acosf1 y2
t1 0 0 1 t2
（1）
式中：f1———齿轮的转角，f1=f2z1/z2，（°） f2———插齿刀的转角，（°） t1，t2———补充参数，均等于1 a———中心距，mm 当插齿刀的对称坐标轴由起始点位置转到与o2o1重合时，按上述假定齿槽已经切出，这时插齿刀转过的角度为 y= cos-1[（re22+a2-re12）/（2re2a）]+sin-1（x22/re2） 插齿刀每一冲程转过一个微小角度?f2，齿轮转过的角度为?f1，它们分别为 ?f1=2fp/（mz1）：?f2=?f1z1/z2
式中：fp———插齿时的圆周进给量 插齿刀切到上述位置时的总冲程数为 n=y/?f2插齿刀每插一次，在齿轮毛坯上插出一个不完整的齿槽，槽形由插齿刀齿顶两点及两侧刃与齿坯顶圆的两交点构成，是一个多边形，其面积容易求出。当已知转角参数f2时，可根据式（1）转换到齿轮坐标系内而得到插齿刀刀齿顶及齿根四点坐标（ x11，y11）、（x12，y12）、（x13，y13）、（x14，y14）。两侧刃与齿轮顶圆交点坐标（x11' ，y11'）、（x14' ，y14'），可通过将侧刃方程与齿顶圆方程联立求解得出。由（x11' ，y11'）、（x12，y12）、（x13，y13）、（x14' ，y14'）四点构成多边形面积为 s1=0.5[（y11'+y12）（x11'-x12）+（y12+y13）（x12-x13）+（y13+y14'）（x13-x14'）] （2）
图2 插齿刀切削负荷分布
当插齿刀一个往复冲程之后，齿轮与插齿刀的转角分别为f1+?f1及f2+?f2，按上面同样方法可求出s2之值，此次冲程插齿刀切除的面积为（图1中剖面线部分） ?s=s2-s1 （3）
按此方法就可求出插齿刀某一刀齿在整个切入过程中每次冲程切下切屑的横断面积如图2a之曲线1所示。 实际上插齿刀不仅只有一个刀齿工作，同时工作齿数可按下式求出 zm=yz2/2p （4）
将曲线1依次右移一个插齿刀的齿距角，就得到相邻齿的切削负荷图。将两齿重叠部分叠加，就可得到整个插齿刀切入过程中之切削层图形（图2a 之曲线2）。2 插齿切削层的影响因素 圆周进给量的影响 当其它参数不变，圆周进给量减小一半时，插齿刀切入过程角y不变，切削冲程数增加了一倍，切削图形变得较为平坦，单齿及整个插齿刀的zui大切削负荷都得以减半（图2b）。 模数的影响 当其它参数不变，模数减小一半时，插齿刀切入过程角y不变，切削冲程数n减小了一半，单齿及整个插齿刀的zui大切削负荷都减小了一半（图2c）。 插齿刀齿数的影响 当其它参数不变，插齿刀齿数增加一倍时，插齿刀切入过程角y 有所减小，切削冲程数n有所增加（均不到一倍），单齿及整个插齿刀的zui大切削负荷都有所减小，同时工作齿数增多（图2d）。 齿轮齿数的影响 当其它参数不变，齿轮齿数减少一半时，插齿刀切入过程角y 有所减少，切削冲程数n有所减小，单齿及整个插齿刀的zui大切削负荷都有所增加，而且两者差值减小，同时工作齿数减少（图2e）。
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（mm） 齿数
z 压力角a
（°） 分圆半径r
（mm） 顶圆半径re
（mm） 根圆半径ri
（mm）
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1 插齿切削层的分析计算方法插齿刀切削齿轮时，类似于一对齿轮啮合传动的过程。如图1所示，与齿轮1相固结的动坐标系为（o1-x1，y1），与插齿刀相固结的动坐标系为（o2-x2，y2），它们的旋转方向如图中箭头所示。插齿刀从切入到切出转过的角度为∠k1o2k2，其中∠k1o2o1为切入过程，∠o1o2k2为切出过程。在切入过程中，插齿刀切出齿轮齿槽及展成出左侧齿形。在切出过程中，展成出齿轮右侧齿形。为简化计算，现在作出两点假设：（1）插齿刀切出过程的切削层忽略不计，因为这部分小于整个齿槽面积的2%：（2）对于插齿刀的刀齿，看成齿条的齿形，这样在极限的情况下（齿数为20），误差也小于4%。上述两项互相抵消后，误差不会大于2%。 设插齿刀及齿轮的参数如右表。 在起始位置，插齿刀两侧刃齿根齿顶四点坐标为 a点：x21 =（pm/4-1.25mtga），y21=ri2 b点：x22 =（pm/4+1.25mtga），y22=re2 c点：x23 =-x22，y23 = y22d点：x24 =-x21，y24 = y21 插齿刀的齿形转到齿轮坐标系上，以上四点坐标 可按下式计算 [ x1 ] = [ cos（f1+f2） sin（f1+f2） asinf1 ][ x2 ]
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t1 0 0 1 t2
（1）
式中：f1———齿轮的转角，f1=f2z1/z2，（°） f2———插齿刀的转角，（°） t1，t2———补充参数，均等于1 a———中心距，mm 当插齿刀的对称坐标轴由起始点位置转到与o2o1重合时，按上述假定齿槽已经切出，这时插齿刀转过的角度为 y= cos-1[（re22+a2-re12）/（2re2a）]+sin-1（x22/re2） 插齿刀每一冲程转过一个微小角度?f2，齿轮转过的角度为?f1，它们分别为 ?f1=2fp/（mz1）：?f2=?f1z1/z2
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