数控补偿法的计算与演示
样条曲线在cad／cam领域已得到广泛应用，但作为cad／cam信息的*终执行者，数控系统对它的支持却显得不够有力：这里试图在不增加系统硬件成本的前提下，通过研究样条曲线的刀具半径补偿算法，在通用数控系统中引入样条曲线模型，以提升国产数控系统的性价比。
2样条曲线的刀具半径补偿算法2.1样条曲线的表示方法及其编程格式样条曲线一般由平面上给定的n（n≥3）个型值点（x j，y j），j＝1，2，…，n表示。在数控系统中引入样条曲线模型，首先要定义其编程格式。
由于iso未对样条曲线的编程作规定，为此可选用iso未的g05作为其编程指令，并纳入g00／g01／g02／g03指令组。具体编程格式如下：2.2引入样条曲线后刀具半径补偿的处理任务传统数控系统由于只有直线、圆弧模型，因而编程轨迹程序段间的过渡方式只有直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线、圆弧接圆弧
四种情况。引入样条曲线模型后，程序段间的过渡方式将增加直线接样条曲线、样条曲线接直线、圆弧接样条曲线、样条曲线接圆弧及样条曲线接样条曲线五种，因而刀具半径补偿的处理任务相应的应增加这些过渡方式的处理。除了上述刀补进行过程的处理外，刀具半径补偿处理所包括的刀补建立和刀补撤消两步也需作相应的改进。
2.3引入样条曲线后刀具半径补偿算法直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线、圆弧接圆弧四种情况的刀具半径补偿算法已相当成熟，文献有详尽描述，只研究其他过渡方式的刀具半径补偿算法。
对于每种过渡方式，根据两个要进行刀补的编程轨迹在转接处工件内侧（非加工侧）所形成的角度α的不同，有缩短型（π≤α＜2π）、伸长型（π／2≤α＜π）和插入型（0≤α＜π／2）三种刀补转接类型。
对于插入型刀补，可以插入一个圆弧段，插入圆弧的半径为刀具半径；也可以插入若干个直线段。前者使转接路径*短，但尖角加工的工艺性比较差；后者能保证尖角加工的工艺性问题，本文以插入直线段为例说明。
2.3.1直线接样条曲线或样条曲线接直线（1）缩短型及伸长型刀补如所示。设编程轨迹为直线l 1（p 0 p 1）、样条曲线s（p 1，p 2，…，p n－1，p n）和l 2（p n p n＋1），刀具半径为r，则l 1与s之间是缩短型刀补，l 2与s之间是伸长型刀补。
刀具半径补偿轨迹可按下述步骤获得：按直线接直线的刀补处理方法，以刀具半径r为间距，求得直线段p 0 p 1、p 1 p 2、p 2 p 3…、p n－1 p n、p n p n＋1的等距线p 0'p 1'、p 1'p 2'、p 2'p 3'…、p n－1'p n'、p n'p n＋1'；在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量（从编程轨迹交点指向刀具中心轨迹交点的矢量）p i p i'（i＝2，3，…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，n－1）；以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建编程样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
求得了s'后，数控系统就可按文献提供的方法对刀补轨迹进行插补计算了。（2）插入型刀补如所示。编程直线轨迹l 2（p n p n＋1）与样条曲线之间是插入型刀补，其刀具半径补偿轨迹的计算过程如下：按直线接直线插入型刀补的处理方法，以刀具半径r为间距，求直线段p n－1 p n、p n p n＋1的等距线p n－1'p n'、a 3 p n＋1'，如过p n点作p n－1 p n、p n p n＋1的垂线分别交p n－1'p n'、a 3 p n＋1'于p n'和a 3点；在p n－1'p n'的延长线上取p n'a 1＝r，在p n＋1'a 3的延长线上取a 3 a 2＝r，连接a 1 a 2；？在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量p i p i'（i＝2，3，…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，…n－1）；以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建编程样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'；p n'a 1、a 1 a 2为插入刀补轨迹段，a 2 p n＋1'为编程直线轨迹p n p n＋1的刀补轨迹段。
2.3.2圆弧接样条曲线或样条曲线接圆弧（1）缩短型及伸长型刀补如，设编程轨迹为圆弧c 1（p 0 p 1）、样条曲线s（p 1，p 2，…，p n－1，p n）和c 2（p n p n＋1），刀具半径为r，则c 1与s之间是缩短型刀补，c 2与s之间是伸长型刀补。
刀具半径补偿轨迹可按下述步骤获得：按直线接圆弧的刀补处理方法，以r为间距，求得圆弧段p 0 p 1、p n p n＋1的同心圆p 0'p 1'、p n'p n＋1'和直线段p 1 p 2、p 2 p 3…、p n－1 p n的等距线p 1'p 2'、p 2'p 3'…、p n－1'p n'，如在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量p i p i'（i＝2，3，…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，…n－1）；？以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
（2）插入型刀补圆弧接样条曲线的插入型刀补，与直线接样条曲线的插入型刀补类似。假设所示，编程轨迹p n p n＋1圆弧，则其刀具半径补偿轨迹的计算过程如下：以r为间距，求直线段p n－1 p n的等距线p n－1'p n'及圆弧段p n p n＋1的同心圆p n'p n＋1'；过p n作p n－1 p n的垂线交p n－1'p n'于p n'，过p n作p n p n＋1的径向直线交p n'p n＋1'于p n'；？在p n－1'p n'的延长线上取p n'a 1＝r，在p n＋1'p n'的切线上取p n'a 2＝r，连接a 1 a 2，则p n'a 1、a 1 a 2、a 2 p n'为插入的刀补轨迹段，p n'p n＋1'为圆弧刀补轨迹段；样条曲线的刀补轨迹同直线接样条曲线的插入型刀补。
2.3.3样条曲线接样条曲线如图5，设编程轨迹为样条曲线s 1（p 0，p 1，…p m－1，p m）和s 2（p m，p m＋1，…p n－1，p n），刀具半径为r，则s 1与s 2之间的刀补，可以转化为直线段p m－1 p m和p m p m＋1之间的刀补。只不过这时的转接类型一般为插入型及缩短型（若为伸长型，一般会将两样条曲线合并）。
缩短型（伸长型）刀补计算过程：？以r为间距，求得直线段p 0 p 1、p 1 p 2、…p m－1 p m、p m p m＋1…、p n－1 p n、p n p n＋1的等距线p 0'p 1'、p 1'p 2'、…、p m－1'p m'、p m'p m＋1'…p n－1'p n'、p n'p n＋1'；在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量p i p i'（i＝2，3，m－1，m＋1…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，m－1，m＋1…n－1）；以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建编程样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
样条曲线接样条曲线插入型刀补的计算过程：以r为间距，求直线段p m－1 p m及p m p m＋1的等距线p m－1'p m'及p m'p m＋1'；过p m作p m－1 p m和p m p m＋1的垂线分别交p m－1'p m'和于p m'和p m'；在p m－1'p m'的延长线上取p m'a 1＝r，在p m＋1'p m'的延长线上取p m'a 2＝r，连接a 1 a 2，则p m'a 1、a 1 a 2、a 2 p m'为插入的刀补轨迹段；后续过程同直线接样条曲线的插入型刀补。
2.4引入样条曲线后刀具半径补偿建立与撤消由于数控系统中刀具半径补偿建立与撤消程序段只能用g00或g01，引入样条曲线后刀补建立与撤消的处理与传统数控()系统基本相同，这里仅考虑刀补建立段后紧跟样条曲线及样条曲线后紧跟刀补撤消段的情况。
刀补建立可分为以下两种情况：当刀补建立段与样条曲线是非缩短型方式时，刀具中心将移至刀补建立段终点的刀具矢量半径顶点。当刀补建立段与样条曲线是缩短方式时，刀具中心将移至样条曲线起点的刀具矢量半径顶点。
刀补撤消是刀补建立的逆过程，同样也分两种情况：如果样条曲线与刀补撤消段是非缩短型转接方式，刀具中心将自刀补撤消段起点处刀具半径矢量的顶点移至编程轨迹终点。如果样条曲线与刀补撤消段是缩短型转接方式，刀具中心将直接移到样条曲线终点处刀具半径矢量顶点，再移至刀补撤消段终点。
2.5算法分析上述样条曲线的刀具半径补偿算法，不是编程样条曲线精确的等距线，但是它能确保各型值点的位置精度。由于样条曲线本身就是通过型值点拟合的近似曲线，这种处理对*终的轮廓加工精度影响很小，特别是如果给定的型值点足够多的话。
该算法充分利用传统数控系统已有的成熟算法，计算工作量小，可确保系统的实时性。因而本文给出的算法具有很好的实用性。
3结论本文研究了在不增加硬件成本的前提下，在通用数控系统中引入样条曲线模型后，刀具半径补偿的实用算法，实验表明该算法实时性好，精度满足要求。该研究在数控系统及样条曲线插补算法之间架起了桥梁，使得样条曲线插补算法方面积累的大量研究成果能方便地走向实用。
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2样条曲线的刀具半径补偿算法2.1样条曲线的表示方法及其编程格式样条曲线一般由平面上给定的n（n≥3）个型值点（x j，y j），j＝1，2，…，n表示。在数控系统中引入样条曲线模型，首先要定义其编程格式。
由于iso未对样条曲线的编程作规定，为此可选用iso未的g05作为其编程指令，并纳入g00／g01／g02／g03指令组。具体编程格式如下：2.2引入样条曲线后刀具半径补偿的处理任务传统数控系统由于只有直线、圆弧模型，因而编程轨迹程序段间的过渡方式只有直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线、圆弧接圆弧
四种情况。引入样条曲线模型后，程序段间的过渡方式将增加直线接样条曲线、样条曲线接直线、圆弧接样条曲线、样条曲线接圆弧及样条曲线接样条曲线五种，因而刀具半径补偿的处理任务相应的应增加这些过渡方式的处理。除了上述刀补进行过程的处理外，刀具半径补偿处理所包括的刀补建立和刀补撤消两步也需作相应的改进。
2.3引入样条曲线后刀具半径补偿算法直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线、圆弧接圆弧四种情况的刀具半径补偿算法已相当成熟，文献有详尽描述，只研究其他过渡方式的刀具半径补偿算法。
对于每种过渡方式，根据两个要进行刀补的编程轨迹在转接处工件内侧（非加工侧）所形成的角度α的不同，有缩短型（π≤α＜2π）、伸长型（π／2≤α＜π）和插入型（0≤α＜π／2）三种刀补转接类型。
对于插入型刀补，可以插入一个圆弧段，插入圆弧的半径为刀具半径；也可以插入若干个直线段。前者使转接路径*短，但尖角加工的工艺性比较差；后者能保证尖角加工的工艺性问题，本文以插入直线段为例说明。
2.3.1直线接样条曲线或样条曲线接直线（1）缩短型及伸长型刀补如所示。设编程轨迹为直线l 1（p 0 p 1）、样条曲线s（p 1，p 2，…，p n－1，p n）和l 2（p n p n＋1），刀具半径为r，则l 1与s之间是缩短型刀补，l 2与s之间是伸长型刀补。
刀具半径补偿轨迹可按下述步骤获得：按直线接直线的刀补处理方法，以刀具半径r为间距，求得直线段p 0 p 1、p 1 p 2、p 2 p 3…、p n－1 p n、p n p n＋1的等距线p 0'p 1'、p 1'p 2'、p 2'p 3'…、p n－1'p n'、p n'p n＋1'；在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量（从编程轨迹交点指向刀具中心轨迹交点的矢量）p i p i'（i＝2，3，…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，n－1）；以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建编程样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
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2.3.2圆弧接样条曲线或样条曲线接圆弧（1）缩短型及伸长型刀补如，设编程轨迹为圆弧c 1（p 0 p 1）、样条曲线s（p 1，p 2，…，p n－1，p n）和c 2（p n p n＋1），刀具半径为r，则c 1与s之间是缩短型刀补，c 2与s之间是伸长型刀补。
刀具半径补偿轨迹可按下述步骤获得：按直线接圆弧的刀补处理方法，以r为间距，求得圆弧段p 0 p 1、p n p n＋1的同心圆p 0'p 1'、p n'p n＋1'和直线段p 1 p 2、p 2 p 3…、p n－1 p n的等距线p 1'p 2'、p 2'p 3'…、p n－1'p n'，如在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量p i p i'（i＝2，3，…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，…n－1）；？以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
（2）插入型刀补圆弧接样条曲线的插入型刀补，与直线接样条曲线的插入型刀补类似。假设所示，编程轨迹p n p n＋1圆弧，则其刀具半径补偿轨迹的计算过程如下：以r为间距，求直线段p n－1 p n的等距线p n－1'p n'及圆弧段p n p n＋1的同心圆p n'p n＋1'；过p n作p n－1 p n的垂线交p n－1'p n'于p n'，过p n作p n p n＋1的径向直线交p n'p n＋1'于p n'；？在p n－1'p n'的延长线上取p n'a 1＝r，在p n＋1'p n'的切线上取p n'a 2＝r，连接a 1 a 2，则p n'a 1、a 1 a 2、a 2 p n'为插入的刀补轨迹段，p n'p n＋1'为圆弧刀补轨迹段；样条曲线的刀补轨迹同直线接样条曲线的插入型刀补。
2.3.3样条曲线接样条曲线如图5，设编程轨迹为样条曲线s 1（p 0，p 1，…p m－1，p m）和s 2（p m，p m＋1，…p n－1，p n），刀具半径为r，则s 1与s 2之间的刀补，可以转化为直线段p m－1 p m和p m p m＋1之间的刀补。只不过这时的转接类型一般为插入型及缩短型（若为伸长型，一般会将两样条曲线合并）。
缩短型（伸长型）刀补计算过程：？以r为间距，求得直线段p 0 p 1、p 1 p 2、…p m－1 p m、p m p m＋1…、p n－1 p n、p n p n＋1的等距线p 0'p 1'、p 1'p 2'、…、p m－1'p m'、p m'p m＋1'…p n－1'p n'、p n'p n＋1'；在样条曲线起点和终点外的所有转接矢量p i p i'（i＝2，3，m－1，m＋1…n－1）上，截取长度为r的线段p i p i'，得到点p i'（i＝2，3，m－1，m＋1…n－1）；以离散点p 1'、p i'（i＝2，3，…n－1）、p n'为型值点构建编程样条曲线的刀具半径补偿轨迹s'。
样条曲线接样条曲线插入型刀补的计算过程：以r为间距，求直线段p m－1 p m及p m p m＋1的等距线p m－1'p m'及p m'p m＋1'；过p m作p m－1 p m和p m p m＋1的垂线分别交p m－1'p m'和于p m'和p m'；在p m－1'p m'的延长线上取p m'a 1＝r，在p m＋1'p m'的延长线上取p m'a 2＝r，连接a 1 a 2，则p m'a 1、a 1 a 2、a 2 p m'为插入的刀补轨迹段；后续过程同直线接样条曲线的插入型刀补。
2.4引入样条曲线后刀具半径补偿建立与撤消由于数控系统中刀具半径补偿建立与撤消程序段只能用g00或g01，引入样条曲线后刀补建立与撤消的处理与传统数控()系统基本相同，这里仅考虑刀补建立段后紧跟样条曲线及样条曲线后紧跟刀补撤消段的情况。
刀补建立可分为以下两种情况：当刀补建立段与样条曲线是非缩短型方式时，刀具中心将移至刀补建立段终点的刀具矢量半径顶点。当刀补建立段与样条曲线是缩短方式时，刀具中心将移至样条曲线起点的刀具矢量半径顶点。
刀补撤消是刀补建立的逆过程，同样也分两种情况：如果样条曲线与刀补撤消段是非缩短型转接方式，刀具中心将自刀补撤消段起点处刀具半径矢量的顶点移至编程轨迹终点。如果样条曲线与刀补撤消段是缩短型转接方式，刀具中心将直接移到样条曲线终点处刀具半径矢量顶点，再移至刀补撤消段终点。
2.5算法分析上述样条曲线的刀具半径补偿算法，不是编程样条曲线精确的等距线，但是它能确保各型值点的位置精度。由于样条曲线本身就是通过型值点拟合的近似曲线，这种处理对*终的轮廓加工精度影响很小，特别是如果给定的型值点足够多的话。
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